ゲーム理論
は、1940年代にフォン・ノイマンとモルゲンシュタインによって
創始され、1994年にナッシュ、ハルサーニィ、ゼルテンの3人の
ゲーム理論研究者がノーベル経済学賞を受賞した 比較的新しい
分野です。
「ゲーム理論」は、複数の人間が関わる意思決定の問題を数値に
置き換え合理的行動を分析する手法です。手法そのものは多分に
数学的で難しいのですが、扱う分野は経済はもとより、交渉ごと、
スポーツなど、実際的分野に広がっています。
今回ここで、バレーボールのゲーム全体をゲーム理論で分析する
のは、複雑すぎてここではまず不可能なので、状況を単純化し、
分析の流れを説明していくこととします。
| 設定 |
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| ＡチームとＢチームが９人制(ローテーションがない)で戦ってい ます。
Ａチームのスパイカーはレフトオープンの１人だけ。他の人は打 ちません。また、このスパイカーはクロスとストレートに打ち分
けることが出来ます
Ｂチームは相手スパイカーに対しブロックに飛ぶのは１人だけ。 他の人は飛びません。このブロッカーは、ストレートを予測して
ジャンプし、実際にストレートが来たときは、「80％」の確率で シャットアウトが出来ます。逆をつかれ、予想に反してクロスが 来たときは「20％」です。また、クロスを予想して実際にクロス
が来たときは「60％」、逆をつかれた場合は「30％」の確率です。
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分かりにくい説明になってしまったかもしれませんが、要は「Ａ
チームからＢチームへの攻撃の際は、必ず同じ人がスパイクとブ
ロックに飛び、ブロッカーにはコースによっての得手不得手があ
る」ということです。
このブロッカーの数値を見るとストレートを止めるのが得意であ
ることが分かります。そうするとスパイカーはクロスを狙ったほ
うが良いような気がしますね。でもブロッカーも相手の裏を読ん
でクロスに飛んだりして、スパイカーがまたその裏を・・・・考
えれば考えるほどよくわからなくなってしまいます。
スパイカーがストレートだけを狙って、ブロッカーもストレート
を待っている状況だと 80％はシャットアウトされるのですから
スパイカーは、コースを打ち分けた方が得なのは計算するまでも
ありません。でも、どの程度の割合で打ち分ければ一番効率的な
のかは直感ではわかりませんね。
こういう場合、ゲーム理論では「混合戦略」というツールを使っ
て最適な戦略を導きます。
まず、設定条件のブロック成功率を表にします
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スパイカーの打つコース |
| ブロッカーの予想 |
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クロス
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ストレート
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| クロス |
60％
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30％
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| ストレート |
20％
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80％
|
次に、スパイカーがクロスに打つ割合を Ｘ とします。クロスと
ストレートに打つ割合は
クロス：ストレート＝Ｘ：(１-Ｘ）
で
すね。
これに対しブロックの成功率を Ｙ としますと、ブロッカーがク
ロスに飛んだときの成功率は
Ｙ＝0.6Ｘ+0.3(１-Ｘ）
ストレートに飛んだときの成功率は
Ｙ＝0.2Ｘ+0.8(１-Ｘ）
となります。
中学校の数学を思い出してください。
Ｙ＝0.2Ｘ+0.8(１-Ｘ）
Ｙ＝0.6Ｘ+0.3(１-Ｘ）
２次方程式ですね。
これを解くと、Ｘ≒0.56 Ｙ≒0.46 です。
これは両方の式のグラフの交点でもあります。
この式と値で何がわかるかというと、スパイカーにとって44％
(1‐Ｘ)の割合でクロス、56％(Ｘ)の割合でストレートに打てば、
ブロックの成功率を 46％(交点のＹの値)に抑えられるというこ
とです。
上記二つの式は、Ｙを最小値(ブロック成功率の最小値)にするた
めにはＸをどの値にすればよいかを計算した式といえます。
スパイカーが全てストレートに打ち、ブロッカーが全てストレー
トに飛んだときの80％のブロック成功率に比べ46％というのはか
なり低いパーセンテージですね。
このように、スパイカーにとっての最大損失80％のブロック成功
率を、最小の 46％に抑えようとする戦略を「ミニマックス戦略」
といいます。
ここまでは「スパイカーにとって」という一面的な計算でしたが、
反対に、ブロッカーはどのくらいの割合でクロスに飛べばよいか
という計算をします。
ブロッカーがクロスに飛ぶ割合を Ｘ とします。正式な研究レポー
トなどでは、スパイカーの場合と区別するためＱとかＰなどとす
るのですが、ここでは皆さんに馴染み深い2次方程式にちなむた
めに、クロスに飛ぶ割合をＸ、ストレートに飛ぶ割合を １−Ｘ
とさせていただきます。クロス：ストレート＝Ｘ：(１-Ｘ）で
す。
このときのブロックの成功率を Ｙ としますと、ブロッカーがク
ロスに飛んだときの成功率は
Ｙ＝0.6Ｘ+0.2(１-Ｘ）
ストレートに飛んだときの成功率は
Ｙ＝0.3Ｘ+0.8(１-Ｘ）
となります。
先ほどと同じように2次方程式で解を求めますと、
Ｘ≒0.67 Ｙ≒0.46 です。
これも同じ考え方から、ブロッカーは33％ (1‐Ｘ)の割合でクロ
ス、67％(Ｘ)の割合でストレートに飛べば、ブロックの成功率を
46％(交点のＹの値)まで上げられるということです。
46％という値は、ブロックの全てをストレートに飛んで、スパイ
クの全てをクロスに打たれたときの 20％というブロック成功率
に比べると高い確率ですね。
このように、ブロッカーにとっての最小利益20％のブロック成功
率を、最大の 46％に上げようとする戦略を「マックスミニ戦略」
といいます。
さてここでは、スパイカー、ブロッカー両者ともブロック成功率
46％を目指しています。バレーボールのように片側が1点取ると
もう一方が1点失うゲームのことをゲーム理論では「ゼロ和ゲー
ム」と言い、ゼロ和ゲームにおいて、一方が相手の最大利得を最
小としようとし、もう一方は自らの最小利益を最大にしようとす
る場合、最大利得の最小は、最小利得の最大に等しくなります。
これを「ミニマックス定理」と言います。
分かりやすく言えば、自分のチームのよいところを活かす戦略を
片側が取れば、敵チームは相手側の良い所を殺そうとする戦略を
取り、両チームの思惑が完全にうまく行けば、落とし所は両チー
ムとも全く同じとなるということです。
今回の例のように、お互いが目指した落とし所であるブロック成
功率「46％」という数字はゲーム理論で「鞍点」と呼びます。鞍
点を目安にすれば、戦略がうまく行ったかまずかったかの判断が
出来ますね。
ゲーム理論では、混合戦略のほかに様々な考え方やツールがあり、
色々な場面に沿った問題解決法があります。もちろん今回の混合
戦略も、もっとシチュエーションに落としこんで複雑に分析する
ことも可能です。
「ゲーム理論といっても しょせんは机上の論理」と一笑に付す
のは簡単ですが、「なぜ負けたのか分からない」「いつも同じチー
ムに同じように負ける」といった場合、ゲーム理論を取り入れて
みることも有益ではないかと思います。
戦術と技術
